Iklan

Prasyarat dalam Pemecahan Sistem Persamaan Linear


Seorang pengunjung blog ini bertanya.

pak Junaidi..
maaf saya tanya sekali lagi..

misalkan saya punya persamaan seperti ini pak:

a

+

b

+

c

+

d

=

1

0.7083 a

+

c

+

d

=

a

0.1389 a

+

0.5 b

=

b

0.0972 a

+

0.25 b

=

c

0.0556 a

+

0.25 b

=

d

(catatan: simbolnya saya ganti, agar lebih simpel)

apakah ada rumusan add ins excel yang bisa menyelesaikan persamaan tersebut..

Terimakasih banyak Pak Junaidi atas jawabannya..
semoga pak Junaidi tambah sukses..amin!

Pertanyaan dan contoh kasus yang menarik. Karenanya, mari kita bahas bersama, mudah-mudahan dapat bermanfaat juga untuk kita semua.

Dalam penyelesaian sistem persamaan linear, add ins Excel (yaitu add ins Matrix) menggunakan Algoritma Gauss-Jordan. Algoritma ini silakan dibaca di buku-buku matematik, dan tidak kita bahas disini. Tetapi untuk aplikasi dan tahapan prosedurnya bisa lihat di tulisan di blog ini.

Pertanyaan penting sebenarnya, yaitu apakah persamaan tersebut bisa diselesaikan ? Inilah yang akan jadi bahasan utama dalam tulisan ini.

Dalam pemecahan persamaan linear ada tiga syarat yang harus dipenuhi:

  1. Jumlah bilangan anu (bilangan tak diketahui) dapat diselesaikan jika jumlah persamaan yang tersedia paling tidak sama banyaknya dengan jumlah bilangan anu tersebut. Dengan kata lain, dua bilangan anu dapat diketahui nilainya melalui paling sedikit dua persamaan, tiga bilangan anu dapat diselesaikan melalui paling sedikit tiga persamaan.

    Contoh persamaan linear yang dapat diselesaikan:

    a + 2b + 3c = 10

    3b + 5c = 11

    7a + 6b + 4c = 37

    Pada contoh diatas, jumlah bilangan anu yang ingin diketahui ada 3 (a, b, c) dan jumlah persamaan juga tepat tiga.

    Contoh persamaan linear yang juga dapat diselesaikan:

    a + 2b + 3c = 10

    3b + 5c = 11

    7a + 6b + 4c = 37

    2a + 2c = 8

    Pada contoh diatas, jumlah persamaan lebih banyak dari bilangan anu. Sistem tersebut juga dapat diselesaikan (Catatan: jika penyelesaian menggunakan metode matriks, jadikan empat persamaan tersebut menjadi 3 persamaan, baik dengan cara substitusi, eliminasi maupun dengan menjumlahkan dua persamaan menjadi satu persamaan).

  2. Persamaan harus konsisten

    Contoh persamaan yang tidak konsisten

    x + 2y = 20

    x + 2y = 23

    Walaupun dua variabel yang tidak diketahui tepat dihubungkan dengan dua persamaan, tetapi tetap tidak ada pemecahan. Kedua persamaan ini ternyata tidak konsisten. Karena bila jumlah x + 2 y = 20, tidak mungkin pada waktu yang sama x + 2y menjadi 23

  3. Persamaan-persamaan harus memiliki kebebasan fungsional (functional independence).

    Contoh persamaan yang tidak bebas (bergantung) secara fungsional:

    2x + 4y = 80

    6x + 12y = 240

    Dalam hal ini persamaan kedua sebenarnya hanya 3 kali persamaan pertama. Akibatnya, satu persamaan mubasir dan dapat dibuang dari sistem, sehingga hanya ada satu persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui. Pemecahannya akan menjadi 2x + 4y = 80, dan akan menghasilkan suatu bilangan yang tak terhingga (bukan pemecahan tunggal). Dengan kata lain, pasangan nilai x dan y bisa saja (0, 20), (40,0), (10,15) dstnya.

    Persyaratan bebas secara fungsional ini sebenarnya juga terkait erat dengan persyaratan konsistensi .

Secara sekilas kita dapat mengetahui apakah jumlah persamaan memenuhi persyaratan jumlah bilangan anu. Tetapi untuk mengetahui apakah persamaan kita konsisten atau tidak, serta apakah persamaan kita memiliki kebebasan fungsional atau tidak, adalah hal yang cukup sulit hanya dengan pengamatan visual, apalagi jika persamaan dalam sistem cukup banyak.

Untuk keperluan itu, kita membutuhkan operasi matriks. Suatu persamaan linear dikatakan bebas secara fungsional jika matriks bujur sangkar (untuk kepentingan pembahasan ini yang kita bicarakan hanya matriks bujur sangkar) yang dibentuk dari koefisien sistem persamaan linear adalah bersifat non-singular. Untuk mengetahui apakah matriks bujur sangkar bersifat non-singular atau singular dapat disidik melalui determinannya. Jika determinannya ≠ 0, maka matriks tersebut bersifat non-singular (Mudah-mudahan lain kali ada kesempatan untuk membahas mengenai pernak-pernik matriks ini).

Kembali kita pada kasus di awal. Sistem persamaan tersebut dapat ditulis ulang dengan memindahkan seluruh bilangan anu ke sebelah kiri dan konstantanya ke sebelah kanan tanda sama dengan sebagai berikut:

a

+

b

+

c

+

d

=

1

0.7083 a

a

+

c

+

d

=

0

0.1389 a

+

0.5 b

b

=

0

0.0972 a

+

0.25 b

c

=

0

0.0556 a

+

0.25 b

d

=

0

Sekarang kita sederhanakan menjadi:

a

+

b

+

c

+

d

=

1

-0.2917 a

+

c

+

d

=

0

0.1389 a

0.5 b

=

0

0.0972 a

+

0.25 b

c

=

0

0.0556 a

+

0.25 b

d

=

0

Ada lima persamaan dengan empat variabel anu (a, b, c, d) yang tidak diketahui. Artinya syarat bahwa paling sedikit jumlah persamaan harus sama dengan jumlah variabel anu yang tidak diketahui sudah terpenuhi.

Selanjutnya, kita ingin menyelidiki apakah persamaan-persamaan dalam sistem tersebut saling bebas secara fungsional. Dari sistem persamaan tersebut, sepertinya kita belum bisa mengambil kesimpulan apakah persamaan dalam sistem saling bebas secara fungsional. (Sebenarnya kalau yang jeli, bisa langsung menangkap bahwa persamaan-persamaan tersebut saling tidak bebas secara fungsional. Untuk latihan, silakan dicermati lagi persamaan-persamaan diatas. Jawabannya nanti lihat di bagian akhir tulisan ini)

Mari kita coba menggunakan penyidikan melalui determinan. Penyidikan melalui determinan memerlukan syarat jumlah persamaan yang tepat sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui. (catatan: untuk menghitung determinan diperlukan matriks bujur sangkar, dengan demikian jumlah variabel harus sama banyak dengan jumlah persamaan).

Kita akan menjadikan sistem tersebut dalam empat persamaan dengan cara menjumlahkan dua persamaan menjadi satu persamaan (misalnya persamaan 4 dan 5), sebagai berikut:

a

+

b

+

c

+

d

=

1

-0.2917 a

+

c

+

d

=

0

0.1389 a

0.5 b

=

0

0.1528 a

+

0.5 b

c

d

=

0

Selanjutnya, jika kita hitung determinan dari matriks koefisien (yang berada di sebelah kiri tanda sama dengan) akan didapatkan nilai determinan = 0. (Caranya lihat pada tulisan sebelum ini). Dengan demikian, kesimpulannya, sistem persamaan linear ini tidak akan menghasilkan satu pemecahan (nilai-nilai tunggal untuk masing-masing variabel anu yang tidak diketahui).

Catatan: sebenarnya setelah penyederhanaan sistem persamaan, kita sudah bisa menangkap persamaan-persamaan tersebut saling tidak bebas secara fungsional. Karena (persamaan 2+ persamaan 3) = – (persamaan 4 + persamaan 5).


Iklan

4 Tanggapan

  1. akhirnyaa,,dapet jg yg pas..
    terimakasih….

  2. penjelasan yang memuaskan

  3. assalamualaikum,,,

    Bapak Junaidi yang dihormati,,,

    Saya mintak pertolongan bapak memberikan referensi apa yang perlu sy baca untuk mengerti LISREL,,, karena saya sedang menulis tesis S2 dan data sy harus dianalisis dengan analisis jalur dengan program LISREL,,,sedangkan saya masih asing program ini.

    mohon bapak Junaidi dapat menolong sy,,, sgala biaya yang perlu insya ALLAH sy akan kirim melalui bank.

    sy mungkin perlu belajar input data LISREL dri bapak … atas tanggapan bapak dan bantuannya diucapkan ribuan terimakasih..

    Wassalamualaikum ww.

    Ucok Harahap

  4. Terima kasih sekali Bapak Saya Mahasiswa S-1 Psikologi yang sedang belajar analisis dengan Liesrel Sebenarnya saya Ingin Berguru secara langsung Dengan Bapak, Mohon Minta Email…
    Email saya Admadja@gmail.com

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: