Prasyarat dalam Pemecahan Sistem Persamaan Linear

Seorang pengunjung blog ini bertanya.

pak Junaidi..
maaf saya tanya sekali lagi..

misalkan saya punya persamaan seperti ini pak:

a	+	b	+	c	+	d	=	1
0.7083 a			+	c	+	d	=	a
0.1389 a	+	0.5 b					=	b
0.0972 a	+	0.25 b					=	c
0.0556 a	+	0.25 b					=	d

(catatan: simbolnya saya ganti, agar lebih simpel)

apakah ada rumusan add ins excel yang bisa menyelesaikan persamaan tersebut..

Terimakasih banyak Pak Junaidi atas jawabannya..
semoga pak Junaidi tambah sukses..amin!

Pertanyaan dan contoh kasus yang menarik. Karenanya, mari kita bahas bersama, mudah-mudahan dapat bermanfaat juga untuk kita semua.

Dalam penyelesaian sistem persamaan linear, add ins Excel (yaitu add ins Matrix) menggunakan Algoritma Gauss-Jordan. Algoritma ini silakan dibaca di buku-buku matematik, dan tidak kita bahas disini. Tetapi untuk aplikasi dan tahapan prosedurnya bisa lihat di tulisan di blog ini.

Pertanyaan penting sebenarnya, yaitu apakah persamaan tersebut bisa diselesaikan ? Inilah yang akan jadi bahasan utama dalam tulisan ini.

Dalam pemecahan persamaan linear ada tiga syarat yang harus dipenuhi:

1. Jumlah bilangan anu (bilangan tak diketahui) dapat diselesaikan jika jumlah persamaan yang tersedia paling tidak sama banyaknya dengan jumlah bilangan anu tersebut. Dengan kata lain, dua bilangan anu dapat diketahui nilainya melalui paling sedikit dua persamaan, tiga bilangan anu dapat diselesaikan melalui paling sedikit tiga persamaan.
   

   Contoh persamaan linear yang dapat diselesaikan:
   

   a + 2b + 3c = 10
   

   3b + 5c = 11
   

   7a + 6b + 4c = 37
   

   Pada contoh diatas, jumlah bilangan anu yang ingin diketahui ada 3 (a, b, c) dan jumlah persamaan juga tepat tiga.
   

   Contoh persamaan linear yang juga dapat diselesaikan:
   

   a + 2b + 3c = 10
   

   3b + 5c = 11
   

   7a + 6b + 4c = 37
   

   2a + 2c = 8
   

   Pada contoh diatas, jumlah persamaan lebih banyak dari bilangan anu. Sistem tersebut juga dapat diselesaikan (Catatan: jika penyelesaian menggunakan metode matriks, jadikan empat persamaan tersebut menjadi 3 persamaan, baik dengan cara substitusi, eliminasi maupun dengan menjumlahkan dua persamaan menjadi satu persamaan).
   

2. Persamaan harus konsisten
   

   Contoh persamaan yang tidak konsisten
   

   x + 2y = 20
   

   x + 2y = 23
   

   Walaupun dua variabel yang tidak diketahui tepat dihubungkan dengan dua persamaan, tetapi tetap tidak ada pemecahan. Kedua persamaan ini ternyata tidak konsisten. Karena bila jumlah x + 2 y = 20, tidak mungkin pada waktu yang sama x + 2y menjadi 23
   

3. Persamaan-persamaan harus memiliki kebebasan fungsional (functional independence).
   

   Contoh persamaan yang tidak bebas (bergantung) secara fungsional:
   

   2x + 4y = 80
   

   6x + 12y = 240
   

   Dalam hal ini persamaan kedua sebenarnya hanya 3 kali persamaan pertama. Akibatnya, satu persamaan mubasir dan dapat dibuang dari sistem, sehingga hanya ada satu persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui. Pemecahannya akan menjadi 2x + 4y = 80, dan akan menghasilkan suatu bilangan yang tak terhingga (bukan pemecahan tunggal). Dengan kata lain, pasangan nilai x dan y bisa saja (0, 20), (40,0), (10,15) dstnya.
   

   Persyaratan bebas secara fungsional ini sebenarnya juga terkait erat dengan persyaratan konsistensi .
   

Secara sekilas kita dapat mengetahui apakah jumlah persamaan memenuhi persyaratan jumlah bilangan anu. Tetapi untuk mengetahui apakah persamaan kita konsisten atau tidak, serta apakah persamaan kita memiliki kebebasan fungsional atau tidak, adalah hal yang cukup sulit hanya dengan pengamatan visual, apalagi jika persamaan dalam sistem cukup banyak.

Untuk keperluan itu, kita membutuhkan operasi matriks. Suatu persamaan linear dikatakan bebas secara fungsional jika matriks bujur sangkar (untuk kepentingan pembahasan ini yang kita bicarakan hanya matriks bujur sangkar) yang dibentuk dari koefisien sistem persamaan linear adalah bersifat non-singular. Untuk mengetahui apakah matriks bujur sangkar bersifat non-singular atau singular dapat disidik melalui determinannya. Jika determinannya ≠ 0, maka matriks tersebut bersifat non-singular (Mudah-mudahan lain kali ada kesempatan untuk membahas mengenai pernak-pernik matriks ini).

Kembali kita pada kasus di awal. Sistem persamaan tersebut dapat ditulis ulang dengan memindahkan seluruh bilangan anu ke sebelah kiri dan konstantanya ke sebelah kanan tanda sama dengan sebagai berikut:

a	+	b	+	c	+	d	=	1
0.7083 a	–	a	+	c	+	d	=	0
0.1389 a	+	0.5 b	–	b			=	0
0.0972 a	+	0.25 b	–	c			=	0
0.0556 a	+	0.25 b			–	d	=	0

Sekarang kita sederhanakan menjadi:

a	+	b	+	c	+	d	=	1
-0.2917 a			+	c	+	d	=	0
0.1389 a	–	0.5 b					=	0
0.0972 a	+	0.25 b	–	c			=	0
0.0556 a	+	0.25 b			–	d	=	0

Ada lima persamaan dengan empat variabel anu (a, b, c, d) yang tidak diketahui. Artinya syarat bahwa paling sedikit jumlah persamaan harus sama dengan jumlah variabel anu yang tidak diketahui sudah terpenuhi.

Selanjutnya, kita ingin menyelidiki apakah persamaan-persamaan dalam sistem tersebut saling bebas secara fungsional. Dari sistem persamaan tersebut, sepertinya kita belum bisa mengambil kesimpulan apakah persamaan dalam sistem saling bebas secara fungsional. (Sebenarnya kalau yang jeli, bisa langsung menangkap bahwa persamaan-persamaan tersebut saling tidak bebas secara fungsional. Untuk latihan, silakan dicermati lagi persamaan-persamaan diatas. Jawabannya nanti lihat di bagian akhir tulisan ini)

Mari kita coba menggunakan penyidikan melalui determinan. Penyidikan melalui determinan memerlukan syarat jumlah persamaan yang tepat sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui. (catatan: untuk menghitung determinan diperlukan matriks bujur sangkar, dengan demikian jumlah variabel harus sama banyak dengan jumlah persamaan).

Kita akan menjadikan sistem tersebut dalam empat persamaan dengan cara menjumlahkan dua persamaan menjadi satu persamaan (misalnya persamaan 4 dan 5), sebagai berikut:

a	+	b	+	c	+	d	=	1
-0.2917 a			+	c	+	d	=	0
0.1389 a	–	0.5 b					=	0
0.1528 a	+	0.5 b	–	c	–	d	=	0

Selanjutnya, jika kita hitung determinan dari matriks koefisien (yang berada di sebelah kiri tanda sama dengan) akan didapatkan nilai determinan = 0. (Caranya lihat pada tulisan sebelum ini). Dengan demikian, kesimpulannya, sistem persamaan linear ini tidak akan menghasilkan satu pemecahan (nilai-nilai tunggal untuk masing-masing variabel anu yang tidak diketahui).

Catatan: sebenarnya setelah penyederhanaan sistem persamaan, kita sudah bisa menangkap persamaan-persamaan tersebut saling tidak bebas secara fungsional. Karena (persamaan 2+ persamaan 3) = – (persamaan 4 + persamaan 5).

Menambahkan Add-ins pada Excel

Beberapa tulisan saya di blog ini terkait dengan Add-ins Excel, diantaranya Matrix, Extools, dan Biplot. Berikut ini saya berikan cara menambahkan fasilitas add-ins tersebut dalam program Excel (barangkali ada yang belum mengetahuinya).

1. Download dulu Add-ins tersebut (lihat pada beberapa tulisan di blog ini).
2. Biasanya file yang di download, masih dalam bentuk zip. Ekstrak file tersebut dan simpan (sebaiknya di drive C)
3. Setelah itu buka program Excelnya
4. Klik menu Tools, kemudian Add-ins
5. Pada menu Add-ins kemudian klik Browse
6. Pilih folder tempat menyimpan file tadi. Cari file dengan ekstensi …xla. Misalnya matrix.xla.
7. Selanjutnya klik OK. Maka add-ins yang baru tersebut akan tampil dalam menu utama Excel.
8. Untuk pengguna Office 2007, pada tahap 4 di atas diganti dengan cara mengklik icon bulat di sudut kiri atas dari Excel. Kemudian klik menu Excel Options, selanjutnya klik Add ins dan klik Go. Selanjutnya ikuti tahapan 5 dan seterusnya.

Cara Mudah Perkalian Lebih dari Dua Matriks dengan Add-In Matrix (Seri Matrix bag.7)

Dalam fungsi Excel, perkalian matriks hanya dapat dilakukan untuk dua matriks saja, yaitu dengan fungsi =MMULT. Jika Anda ingin mengalikan tiga atau lebih matriks, maka harus dilakukan perkalian secara berulang. Tulisan kali ini akan memberikan cara praktis untuk mengalikan lebih dari tiga matriks sekaligus.

Misalnya kita punya tiga matriks yaitu matriks A, matriks B dan matriks C. Sebagai latihan, lihat gambar di bawah ini. Matriks A sebagai matriks 3×3 (tiga baris tiga kolom) kita tempatkan di range B4:D6, matriks B sebagai matriks 3×2 kita tempatkan di range F4:G6 dan matriks C sebagai matriks 2×4 kita tempatkan di range I4:L5.

 

Sekarang kita ingin mengalikan ketiga matriks tersebut yaitu AxBxC.

Dengan memanfaatkan fungsi = MMULT di Excel, langkah yang kita lakukan adalah mengalikan A dengan B. Kemudian hasil kali tersebut, baru kita kalikan lagi dengan C.

Mari kita coba. Sekarang letakkan pointer anda di sel B11. Kemudian ketik rumus =MMULT(B4:D6,F4:G6). Akan keluar satu angka hasil perkalian (dalam kasus kita adalah 324). Selanjutnya, blok sel worksheet sebanyak 3 baris 2 kolom atau rangeB11:C13 (dalam kasus kita. Kenapa? Lihat aturan perkalian matriks), dimulai dari angka hasil pertama tersebut. Tekan F2, emudian tekan tombol  CTRL dan SHIFT. Tahan dan tekan ENTER. Akan keluar hasil perkalian matriks AxB.

Selanjutnya kalikan hasil tersebut dengan matriks C. Tempatkan pointer anda di sel F11, kemudian ketikkan rumus =MMULT(B11:C13,I4:L5). Akan keluar satu angka hasil perkalian (dalam kasus kita adalah 3456). Selanjutnya, blok sel worksheet sebanyak 3baris 4 kolom atau range F11:I13, dimulai dari angka hasil pertama tersebut. Tekan F2, kemudian tekan tombol  CTRL dan SHIFT. Tahan dan tekan ENTER. Akan keluar hasil perkalian matriks AxBxC. Lihat tampilan di bawah ini.

 

Cukup repot bukan ? Apalagi kalau jumlah matriks yang dikalikan cukup banyak.

Tetapi, ada cara praktis, dimana dengan satu kali pengerjaan, anda bisa mengalikan lima matriks sekaligus (memang batas maksimumnya hanya lima, kalau lebih terpaksa harus berulang juga), yaitu dengan menggunakan fasilitas dari Add-ins Matrix.

Caranya ?

Sekarang, tempatkan pointer anda di sel F17. Kemudian ketikkan rumus berikut =MProd(B4:D6,F4:G6,I4:L5). Tekan F2, kemudian tekan tombol  CTRL dan SHIFT. Tahan dan tekan ENTER. Akan keluar hasil perkalian matriks AxBxC, persis seperti cara pertama tadi.

Tapi, sekali lagi perlu diingat, fungsi =MProd tersebut hanya akan berlaku jika anda sudah menambahkan Add-ins Matriks pada program Excelnya. Lihat tulisan mengenai hal tersebut di sini.

 

Matriks Diagonal dan Identitas dengan Add-In Matrix (Seri Matrix bag.4)

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar (jumlah baris dan kolomnya sama) dengan seluruh unsurnya bernilai 0 kecuali pada diagonal utama (diagonal dari kiri atas ke kanan bawah). Matriks identitas atau matriks satuan adalah bentuk khusus dari matriks diagonal, dimana seluruh unsurnya bernilai 0 kecuali pada diagonal utamanya yang semua unsurnya bernilai 1.

Biasanya, untuk mengetik (menginputkan) matriks diagonal atau matriks identitas, kita melakukan secara manual dengang mengetik angkanya satu persatu. Tentunya, ini akan sangat merepotkan dan butuh waktu lama, apalagi jika ukuran matriksnya besar.

Tahapan Eliminasi Gauss-Jordan dengan Macro Add-in Matrix (Seri Matrix bag.6)

Tulisan kali ini akan memperkenalkan fasilitas add-in Matrix (lihat tulisan seri Matrix bag.1 pada kategori Tip & Trik di blog ini untuk pengenalan terhadap add-in matrix) yang cukup menarik dalam rangka didaktik (pembelajaran) tahapan eliminasi Gauss-Jordan.

Tahapan Eliminasi Gauss dengan Macro Add-in Matrix (Seri Matrix bag.5)

Tulisan kali ini bertujuan untuk memperkenalkan fasilitas Add-in Matrix (lihat tulisan seri matrix bag.1 pada kategori Tip & Trik di blog ini untuk pengenalan add-in Matrix) yang cukup menarik dalam rangka pembelajaran (didaktik) tahap-tahap eliminasi Gauss. Secara sederhana (pendalaman konsep silakan pelajari literatur-literatur matematik), eliminasi Gauss adalah suatu algoritma yang efisien untuk pemecahan sistem persamaan linear. Tahapan dalam eliminasi Gauss adalah dengan mengubah persamaan linear ke dalam matriks teraugmentasi (augmented matrix). Selanjutnya, matriks teraugmentasi tersebut disederhanakan melalui operasi baris dasar (elementary row operations) sehingga menjadi matriks yang Eselon-baris. Setelah menjadi matriks Eselon-baris (row echelon), lakukan substitusi balik (back substitions) untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel dalam sistem persamaan linear.

Mudah Operasi Matriks dgn Macro Add-In Matrix Excel (Seri Matrix bag.3)

Tulisan ini merupakan seri ketiga dari Add-ins Matrix Excel. Untuk memahami pembahasan berikut,sebaiknya terlebih dahulu membaca seri bagian 1.

Untuk mendapatkan macro dari add-in matrix, klik icon matrix seperti ini di toolbar Excel, maka akan muncul tampilan toolbar baru seperti berikut:

Kemudian klik Macros dan pilih Matrix Operations, maka akan muncul tampilan berikut:

Menghitung Matriks Inverse Leontif dengan Add-in Matrix Excel (Seri Matrix bag.1)

Pada tulisan Analisis Input-Output dengan Excel sebelumnya, ada beberapa tahapan yang harus kita lakukan untuk mencari matriks pengganda (I-A)-1 atau yang dikenal juga dengan Matriks Invers Leontif (Leontief inverse matrix). Untuk mengingatkan, saya tampilkan kembali contoh matrik transaksi I-O nya sebagai berikut:

Analisis Input-Output dengan Excel

Tulisan ini membahas simulasi/latihan analisis I-O dengan menggunakan Excel. Analisis yang dibahas mencakup perhitungan matriks pengganda, indeks daya penyebaran, indeks derajat kepekaan dan analisis dampak.

Pada dasarnya sudah terdapat program yang secara khusus bertujuan untuk analisis I-O ini. Oleh karenanya, tulisan ini lebih sebagai latihan pembelajaran untuk melihat menelusuri proses analisisnya. Sebagai latihan, misalnya kita punya tabel I-O dalam bentuk tabel Transaksi Domestik atas Dasar Harga Produsen yang dibagi atas tiga sektor. Angka-angka dalam tabel dalam satuan Trilyun Rupiah.

Agar dapat mengikuti alur pembahasan dalam tulisan ini, sel-sel pengetikan disesuaikan dengan sel-sel pada tampilan 1 dibawah ini.

Menghitung Inverse Matriks di Excel

Seringkali kita butuh perhitungan inverse matriks terutama untuk kepentingan-kepentingan analisis I-O dan perhitungan-perhitungan statistik-matematik-ekonometrik.  Perhitungan inverse matriks secara manual akan sangat membosankan dan memakan waktu lama (terutama jika matriksnya berukuran besar).

Sebenarnya Microsoft Excel sudah menyediakan fasilitas perhitungan inverse matriks. Tetapi ketika kawan-kawan saya menggunakannya, mereka kebingungan karena hasil inverse yang keluar hanya satu angka. Padahal seharusnya ukuran inverse matriks sebesar ukuran matriks aslinya.

Berikut ini saya berikan tip sederhana untuk menampilkan keseluruhan nilai inverse. Mudah-mudahan bisa berguna.

 

1. Input matriksnya , misalnya matriks  3 x 3, yang misalnya kita tempatkan di worksheet pada range B2:D4 seperti tampilan berikut:

 

Setelah menginput matriks, letakkan pointer (kotak hitam tebal seperti di gambar), pada sel tempat hasil invers yang kita inginkan. Pada gambar, kita tempatkan di sel F6.

 

2. Sekarang ketik =MINVERSE(B2:D6). MINVERSE adalah nama dari  fungsi inverse. Sedangkan (B2:D4), karena data matriks terletak di range B2:D4. Setelah itu tekan ENTER.

     Akan keluar hasil inverse matriks seperti berikut:

 

Nah inilah yang sering membingungkan pengguna Excel. Karena inverse matriks seharusnya ukurannya sama dengan matriks aslinya. Dalam contoh kita, jika matriks 3 x 3 (dengan 9 angka), juga akan menghasilkan inverse matriks 3 x 3 (dengan 9 angka).

Sebenarnya, Excel sudah menghitung keseluruhan nilai inverse. Hanya saja yang baru ditampilkan adalah angka pertama saja. Untuk menampilkan keseluruhan angka inverse, lakukan tahapan berikut:

 

3. Pindahkan kembali pointer kita ke angka hasil tadi (dalam kasus kita angkanya 2.1). Kemudian blok sel worksheet sebanyak 3 x 3 (dalam kasus kita), dimulai dari angka inverse pertama tersebut, seperti dalam gambar dibawah ini.

 

Sekarang klik (letakkan kursor) ke sesudah tanda = dari fungsi MINVERSE kita tadi (di kotak kosong setelah icon fx. Kemudian tekan tombol  CTRL dan SHIFT. Tahan dan tekan ENTER.  Inverse matriks kita sudah lengkap seperti gambar dibawah ini.